トイレットペーパー交換当番問題 数値シミュレーション検証レポート
「最後に使った人が交換する」ルールで、トイレに行く回数は同じ、1 回に使う量だけが n 倍違う二人がいるとき、交換係はどちらに偏るのか。モンテカルロ法で確かめました。
結論
使う量が n 倍の人（グルグル）は、交換も n 倍します。交換回数の比は 1 : n、グルグルの交換シェアは n/(1+n) です。n = 2 のシミュレーションでは 66.9%（理論値 66.7%、約 1.26 万ロール）でした。
シミュレーションの設定
- 1 ロールの長さは、チョビの 1 回分を 1 として L = 237.3。使用量の整数倍にはせず、端数が出るようにした
- トイレに行くのは毎回 1/2 の確率でどちらか。長い目で見れば回数は同じ
- 1 回の使用量は、チョビが 1、グルグルが n
- 使っている途中でロールが尽きた人が交換し、足りない分は新しいロールから使う
- 各条件で 200 万回のトイレ利用を生成。乱数は NumPy の PCG64 で、シードを固定
結果: 交換シェアは n/(1+n)
| n | 交換したロール数 | グルグルのシェア | 理論 n/(1+n) | 交換回数の比 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 8,428 | 49.5% | 50.0% | 1 : 0.98 |
| 1.5 | 10,536 | 60.7% | 60.0% | 1 : 1.55 |
| 2 | 12,646 | 66.9% | 66.7% | 1 : 2.02 |
| 3 | 16,858 | 74.6% | 75.0% | 1 : 2.94 |
| 4 | 21,060 | 79.8% | 80.0% | 1 : 3.96 |
| 5 | 25,266 | 83.7% | 83.3% | 1 : 5.13 |
n = 2 の家庭を 4,000 軒つくり、それぞれ 100 ロール分の交換を数えると、グルグルの交換回数は平均 66.7 回（標準偏差 4.8）でした。チョビのほうが多く替えた家庭は 4,000 軒中 0 軒で、運で逆転することはまずありません。
なぜそうなるのか
ロールの終わりは、使用の切れ目とは関係のない位置に、ほぼ一様に来ます。回数は半々でも、紙の長さで見ればグルグルの使用区間が全体の n/(1+n) を占めるので、終わりの位置を「覆っている」のがグルグルである確率は長さの比になります。バスの待ち時間が平均の運行間隔より長く感じられるのと同じ理屈（検査のパラドックス）です。
1 回の使用量をガンマ分布で ±50% ほどばらつかせても、n = 2 で 66.6%、n = 3 で 75.3% と結果は変わりませんでした。効くのは平均使用量の比だけです。
「最後の 1 回は半々」が成り立つとき
二人とも m 回ずつ使い、ロールがちょうど使い切れる場合は、ロールの終わりが必ず使用の切れ目に来るので、最後の 1 回は 1/2 です。ただし末端から少し内側では、n = 2、m = 12 の例で 0.76 まで跳ね上がり、振動しながら n/(1+n) 付近へ収束します。実際のトイレットペーパーは使用量の整数倍の長さではないので、家庭で効いてくるのは n/(1+n) のほうです。
毎回新しいロールから始め、ロールが 1 回分の数倍しかない短い場合は、交換シェアがロール長によって上下します（L = 3、n = 3 で 87.5%）。ロールが 1 回分の 10 倍を超えると、ほぼ n/(1+n) に落ち着きます。
まとめ
「最後に使った人が交換」は、回数ではなく使った紙の量に比例して交換を割り振るルールです。グルグルは n 倍替えますが、紙 1 m あたりの交換負担は二人とも同じなので、ある意味では完全に公平です。回数で公平にしたいなら、交換当番を交互制にするしかありません。